题目概览

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思路

考场上作为队伍$ds$选手，写这个题时候把队友演了，虽然知道是处理$25$个线段树，但是一直没调出来（

考后补题，整理如下。

前置知识：image-20210927170114944

首先观察到最开始时候$1 \leq x_i \leq 100$​，而且$100$​以内素数只有$25$​​个，考虑这是一个突破点。

假设说要对区间$[L,R]$​​内所有数都乘上一个数字$W$，分两种情况：

  • 假设数字为$W=p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \dots p_l^{k_l}$，且区间$[L,R]$内所有数均含有质因子$p_1,p_2,\dots,p_l$​时​

    我们考虑分开算每个质因子的贡献：

    如：$[2 \times 2 \times 3,2 \times 3,2 \times 3 \times 3]$​，即$[12,6,18]$​，我们可以拆为：

    • $p=2:[\phi(4)=2, \phi(2)=1, \phi(2)=1]$
    • $p=3:[\phi(3)=2,\phi(3)=2, \phi(9)=6]$​

    由于任意两个质因数间一定互质，且$gcd(n,m)=1$时，$\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)$，原数组的欧拉函数值的和为各个质因子对应的欧拉函数的积。

    即：$[\phi(12)=\phi(4) \times \phi(3), \phi(6)=\phi(2) \times \phi(3), \phi(18)=\phi(2) \times \phi(9)]$​

    又因为区间$[L,R]$​内均含有所乘的数的质因子$p_1,p_2,\dots,p_l$​，且当$n=p^k$​时，$\phi(n)=(p-1)p^{k-1}$​，那么在计算区间乘的贡献时，其实只要对$[L,R]$​的区间和乘上一个$W$​就可以了，用上面的数组$[12,6,18]$​​举例如下：

    假设$W=6=2 \times 3$​​，结果数组为$[12 \times 6,6 \times 6,18 \times 6]$，即：$[72,36,108]$，对应的欧拉函数为$[24,12,36]$；

    拆开来看，有：

    • $p=2:[\phi(4 \times 2) = \phi(4) \times 2 = 4, \phi(2 \times 2) = \phi(2) \times 2 = 2, \phi(2 \times 2)=\phi(2) \times 2 = 2]$​
    • $p=3:[\phi(3 \times 3)=\phi(3) \times 3=6,\phi(3 \times 3)=\phi(3) \times 3=6, \phi(9 \times 3)=\phi(9) \times 3=18]$​

    即$[\phi(8)\times\phi(9)=24,\phi(4)\times\phi(9)=12,\phi(4)\times\phi(27)=3]$​

    也就是说，这种情况下，你只需要对整个区间的和乘上$W$，得到的就是最终答案。

  • 如果区间$[L,R]$内存在数字并不都含有$W$的全部质因数呢？

    只要对区间内这些并不含有$W$的全部质因数的数字暴力更新就可以了。

    由于$1\leq x_i,w_i \leq 100$，质因数一定在$100$以内，也就是说最多只有$25$个质因子。

    考虑最坏情况，$25$个质因子暴力更新，所需要的也只是$25n$​次操作而已，之后只要用线段树维护区间乘和区间和就可以了。

代码

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/* vegetable1024 | Maybe Lovely? */

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 800005
#define int long long
#define lson(x) (x << 1)
#define rson(x) (x << 1 | 1)
using namespace std;

//DEBUG TEMPLATE
template<typename T>
void Print(T value){
    std::cout << value << '\n';
}
template<typename Head, typename... Rail>
void Print(Head head, Rail... rail){
    std::cout << head << ", ";
    Print(rail...);
}

int read(){
    int x = 0; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9')    ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9')  x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    return x;
}

int qpow(int a, int b, int m){
    if(b == 0)    return 1;
    int tmp = qpow(a, b / 2, m);
    tmp = (tmp * tmp) % m;
    if(b & 1)    tmp = (tmp * a) % m;
    return tmp;
}

const int mod = 998244353;
//维护区间欧拉函数的和，支持区间乘法
struct SegTreeSum{
    struct Node{
        int lf, rt, sum, lazy;
    } t[maxn];
    void Pushdown(int now){
        if(t[now].lazy > 1){
            t[lson(now)].lazy = (t[now].lazy * t[lson(now)].lazy) % mod;
            t[rson(now)].lazy = (t[now].lazy * t[rson(now)].lazy) % mod;
            t[lson(now)].sum = (t[now].lazy * t[lson(now)].sum) % mod;
            t[rson(now)].sum = (t[now].lazy * t[rson(now)].sum) % mod;
            t[now].lazy = 1;
        }
    }
    void Pushup(int now){
        t[now].sum = (t[lson(now)].sum + t[rson(now)].sum) % mod;
    }
    void Build(int now, int lf, int rt){
        t[now].lf = lf;
        t[now].rt = rt;
        if(lf == rt){
            t[now].sum = t[now].lazy = 1;
            return;
        }
        t[now].lazy = 1;
        int mid = (lf + rt) / 2;
        Build(lson(now), lf, mid);
        Build(rson(now), mid + 1, rt);
        Pushup(now);
    }
    void Update(int now, int lf, int rt, int k){
        if(t[now].lf >= lf && t[now].rt <= rt){
            t[now].sum = (t[now].sum * k) % mod;
            t[now].lazy = (t[now].lazy * k) % mod;
            return;
        }
        if(t[now].lf > rt || t[now].rt < lf){
            return;
        }
        Pushdown(now);
        Update(lson(now), lf, rt, k);
        Update(rson(now), lf, rt, k);
        Pushup(now);
    }
    int Query(int now, int lf, int rt){
        if(t[now].lf >= lf && t[now].rt <= rt){
            return t[now].sum;
        }
        if(t[now].lf > rt || t[now].rt < lf){
            return 0;
        }
        Pushdown(now);
        return (Query(lson(now), lf, rt) + Query(rson(now), lf, rt)) % mod;
    }
} smt;
//计算每个质因子的出现次数最大值和最小值，判断是否要暴力更新
struct SegTreeRM{
    struct Node{
        int lf, rt, minn, maxx, lazy;
    } t[maxn];
    void Pushup(int now){
        t[now].maxx = max(t[lson(now)].maxx, t[rson(now)].maxx);
        t[now].minn = min(t[lson(now)].minn, t[rson(now)].minn);
    }
    void Pushdown(int now){
        if(t[now].lazy){
            t[lson(now)].lazy += t[now].lazy; t[rson(now)].lazy += t[now].lazy;
            t[lson(now)].maxx += t[now].lazy; t[rson(now)].maxx += t[now].lazy;
            t[lson(now)].minn += t[now].lazy; t[rson(now)].minn += t[now].lazy;
            t[now].lazy = 0;
        }
    }
    void Build(int now, int lf, int rt){
        t[now].lf = lf;
        t[now].rt = rt;
        if(lf == rt){
            t[now].maxx = t[now].minn = t[now].lazy = 0;
            return;
        }
        int mid = (lf + rt) / 2;
        Build(lson(now), lf, mid);
        Build(rson(now), mid + 1, rt);
        Pushup(now);
    }
    void Update(int now, int lf, int rt, int p, int c){
        if(t[now].lf >= lf && t[now].rt <= rt){
            if(t[now].maxx == 0){
                t[now].maxx += c; t[now].minn += c; t[now].lazy += c;
                smt.Update(1, t[now].lf, t[now].rt, ((p - 1) * qpow(p, c - 1, mod)) % mod);
            }
            else if(t[now].minn > 0){
                t[now].maxx += c; t[now].minn += c; t[now].lazy += c;
                smt.Update(1, t[now].lf, t[now].rt, qpow(p, c, mod));
            }
            else{
                Pushdown(now);
                Update(lson(now), lf, rt, p, c);
                Update(rson(now), lf, rt, p, c);
                Pushup(now);
            }
            return;
        }
        if(t[now].lf > rt || t[now].rt < lf){
            return;
        }
        Pushdown(now);
        Update(lson(now), lf, rt, p, c);
        Update(rson(now), lf, rt, p, c);
        Pushup(now);
    }
} tr[30];

int n, m, xi[maxn];
bool check(int val){
    if(val == 1)    return false;
    for(int i = 2; i * i <= val; i++)
        if(val % i == 0)    return false;
    return true;
}
int cnt, pri[maxn];
void initp(int lim){
    for(int i = 1; i <= lim; i++)
        if(check(i))    pri[++cnt] = i;
    smt.Build(1, 1, n);
    for(int i = 1; i <= cnt; i++)    tr[i].Build(1, 1, n);
}
void De(int l, int r, int w){
    for(int i = 1; i <= cnt && w > 1; i++){
        int p = pri[i], c = 0;
        while(w % pri[i] == 0){
            w /= pri[i];
            c++;
        }
        if(c)    tr[i].Update(1, l, r, p, c);
    }
}
signed main(void)
{
    n = read(); m = read(); initp(100);
    for(int i = 1; i <= n; i++)    xi[i] = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)    De(i, i, xi[i]);
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int ty = read();
        if(ty == 0){
            int l = read(), r = read(), w = read();
            De(l, r, w);
        }
        else{
            int l = read(), r = read();
            printf("%lld\n", smt.Query(1, l, r));
        }
    }
    return 0;
}